4.寻找两个正序数组的中位数

（1）题目

给定两个大小分别为 m 和 n 的正序（从小到大）数组 nums1 和 nums2。请你找出并返回这两个正序数组的 中位数 。

算法的时间复杂度应该为 O(log (m+n)) 。

示例 1：

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输入：nums1 = [1,3], nums2 = [2]
输出：2.00000
解释：合并数组 = [1,2,3] ，中位数 2

示例 2：

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输入：nums1 = [1,2], nums2 = [3,4]
输出：2.50000
解释：合并数组 = [1,2,3,4] ，中位数 (2 + 3) / 2 = 2.5

提示：

  • nums1.length == m
  • nums2.length == n
  • 0 <= m <= 1000
  • 0 <= n <= 1000
  • 1 <= m + n <= 2000
  • -106 <= nums1[i], nums2[i] <= 106

（2）题解

给定两个有序数组，要求找到两个有序数组的中位数，最直观的思路有以下两种：

  1. 使用归并的方式，合并两个有序数组，得到一个大的有序数组。大的有序数组的中间位置的元素，即为中位数。第一种思路的时间复杂度是 O(m+n) ，空间复杂度是 O(m+n) ；
  2. 不需要合并两个有序数组，只要找到中位数的位置即可。由于两个数组的长度已知，因此中位数对应的两个数组的下标之和也是已知的。维护两个指针，初始时分别指向两个数组的下标 0 的位置，每次将指向较小值的指针后移一位（如果一个指针已经到达数组末尾，则只需要移动另一个数组的指针），直到到达中位数的位置。空间复杂度降到 O(1) ，时间复杂度仍是 O(m+n) ；

  • 不合并数组，依次取数，直至中位数位置

    中位数的位置一定在 (m+n)/2 附近：

    • 如果是偶数，中位数就是最后取的两个数的平均数；
    • 如果是奇数，中位数就是最后取的那个数。

    取数阶段，循环 (m + n) / 2.0 + 1 次即可；判断中位数时，关键是奇数情况，可能有指针溢出，需要判断一下。

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    // 从 nums1 和 nums2 中每次取一个数，直到取出的数的个数 <= (m+n)/2 + 1
    int m = nums1.size(), n = nums2.size();
    int x = 0, y = 0; // x, y 分别是 nums1 和 nums2 的下标
    for (int i = 1; i <= (m + n) / 2.0 + 1; ++i){
      if (x < m && y < n){
        if (nums1[x] < nums2[y]) ++x;
        else ++y;
      }else if (x < m) ++x;
      else ++y;
    }
            
    if ((m + n) % 2 == 0){
      return (nums1[x - 1] + nums2[y - 1]) / 2.0;
    }else{
      if (x >= m){
        return nums1[x - 1];
      }else if (y >= n){
        return nums2[y - 1];
      }else{
        return min(nums1[x - 1], nums2[y - 1]);
      }
    }

    该方法测试用例可行，但 LeetCode 无法通过，可能是指针溢出形成空指针不被允许。

  • 改进

    我们首先计算出两个数组的长度，然后将它们的长度相加，得到总长度。接下来，我们使用一个循环来遍历这两个数组，直到到达中位数的位置。在循环中，我们维护两个指针 aStart 和 bStart，它们分别指向两个数组的下标 0 的位置。我们还维护两个变量 left 和 right，它们分别表示当前的中位数和前一个元素。在每次循环中，我们将 left 的值更新为 right，然后将指向较小值的指针后移一位。最后，如果总长度是偶数，则中位数是 left 和 right 的平均值，否则中位数是 right。

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    int m = nums1.size(), n = nums2.size();
    int len = m + n;
    int left = -1, right = -1;
    int aStart = 0, bStart = 0;

    for (int i = 0; i <= len / 2; i++){
    	left = right;
      if (aStart < m && (bStart >= n || nums1[aStart] < nums2[bStart])){
        right = nums1[aStart++];
      }else{
        right = nums2[bStart++];
      }
    }

    if (len % 2 == 0){
      return (left + right) / 2.0;
    }else{
      return right;
    }

  • 二分查找

    如果对时间复杂度的要求有 log⁡ ，通常都需要用到二分查找：

    根据中位数的定义，当 m+n 是奇数时，中位数是两个有序数组中的第 (m+n)/2 个元素，当 m+n 是偶数时，中位数是两个有序数组中的第 (m+n)/2 个元素和第 (m+n)/2+1 个元素的平均值。因此，这道题可以转化成寻找两个有序数组中的第 k 小的数，其中 k 为 (m+n)/2 或 (m+n)/2+1 。

    假设两个有序数组分别是 A 和 B。要找到第 k 个元素，我们可以比较 A[k/2−1] 和 B[k/2−1] ，其中 / 表示整数除法。由于 A 和 B 的前面分别有 k/2−1 个元素，对于 A[k/2−1] 和 B[k/2−1] 中的较小值，最多只会有 (k/2−1)+(k/2−1)≤k−2 个元素比它小，那么它就不能是第 k 小的数了。

    因此我们可以归纳出三种情况：

    1. 如果 A[k/2−1]<B[k/2−1] ，则比 A[k/2−1] 小的数最多只有 A 的前 k/2−1 个数和 B 的前 k/2−1 个数，即比 A[k/2−1] 小的数最多只有 k−2 个，因此 A[k/2−1] 不可能是第 k 个数，A[0] 到 A[k/2−1] 也都不可能是第 k 个数，可以全部排除。
    2. 如果 A[k/2−1]>B[k/2−1] ，则可以排除 B[0] 到 B[k/2−1] 。
    3. 如果 A[k/2−1]=B[k/2−1] ，则可以归入第一种情况处理。

    可以看到，比较 A[k/2−1] 和 B[k/2−1] 之后，可以排除 k/2 个不可能是第 k 小的数，查找范围缩小了一半。同时，我们将在排除后的新数组上继续进行二分查找，并且根据我们排除数的个数，减少 k 的值，这是因为我们排除的数都不大于第 k 小的数。

    有以下三种情况需要特殊处理：

    1. 如果 A[k/2−1] 或者 B[k/2−1] 越界，那么我们可以选取对应数组中的最后一个元素。在这种情况下，我们必须根据排除数的个数减少 k 的值，而不能直接将 k 减去 k/2。
    2. 如果一个数组为空，说明该数组中的所有元素都被排除，我们可以直接返回另一个数组中第 k 小的元素。
    3. 如果 k=1 ，我们只要返回两个数组首元素的最小值即可。

    用一个例子说明上述算法。假设两个有序数组如下：

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    A: 1 3 4 9
    B: 1 2 3 4 5 6 7 8 9

    两个有序数组的长度分别是 4 和 9，长度之和是 13，中位数是两个有序数组中的第 7 个元素，因此需要找到第 k=7 个元素。

    比较两个有序数组中下标为 k/2−1=2 的数，即 A[2]=4 和 B[2]=3 ，如下面所示：
    由于 A[2]>B[2] ，因此排除 B[0] 到 B[2] ，即数组 B 的下标偏移（offset）变为 3，同时更新 k 的值：k=k−k/2=4。

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    A: 1 3 4 9
    B: [1 2 3] 4 5 6 7 8 9

    下一步寻找，比较两个有序数组中下标为 k/2−1=1 的数，即 A[1]=3 和 B[4]=5 ，如下面所示，其中方括号部分表示已经被排除的数。
    由于 A[1]<B[4]，因此排除 A[0] 到 A[1]，即数组 A 的下标偏移变为 2，同时更新 k 的值：k=k−k/2=2。

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    A: [1 3] 4 9
    B: [1 2 3] 4 5 6 7 8 9

    下一步寻找，比较两个有序数组中下标为 k/2−1=0 的数，即比较 A[2]=4 和 B[3]=4 ，如下面所示，其中方括号部分表示已经被排除的数。
    由于 A[2]=B[3]，根据之前的规则，排除 A 中的元素，因此排除 A[2] ，即数组 A 的下标偏移变为 3 ，同时更新 k 的值： k=k−k/2=1 。

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    A: [1 3 4] 9
    B: [1 2 3] 4 5 6 7 8 9

    由于 k 的值变成 1，因此比较两个有序数组中的未排除下标范围内的第一个数，其中较小的数即为第 k 个数，由于 A[3]=9>B[3]=4 ，因此第 k 个数是 B[3]=4。

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class Solution {
public:
    int getKthElement(const vector<int>& nums1, const vector<int>& nums2, int k) {
        /* 主要思路：要找到第 k (k>1) 小的元素，那么就取 pivot1 = nums1[k/2-1] 和 pivot2 = nums2[k/2-1] 进行比较
         * 这里的 "/" 表示整除
         * nums1 中小于等于 pivot1 的元素有 nums1[0 .. k/2-2] 共计 k/2-1 个
         * nums2 中小于等于 pivot2 的元素有 nums2[0 .. k/2-2] 共计 k/2-1 个
         * 取 pivot = min(pivot1, pivot2)，两个数组中小于等于 pivot 的元素共计不会超过 (k/2-1) + (k/2-1) <= k-2 个
         * 这样 pivot 本身最大也只能是第 k-1 小的元素
         * 如果 pivot = pivot1，那么 nums1[0 .. k/2-1] 都不可能是第 k 小的元素。把这些元素全部 "删除"，剩下的作为新的 nums1 数组
         * 如果 pivot = pivot2，那么 nums2[0 .. k/2-1] 都不可能是第 k 小的元素。把这些元素全部 "删除"，剩下的作为新的 nums2 数组
         * 由于我们 "删除" 了一些元素（这些元素都比第 k 小的元素要小），因此需要修改 k 的值，减去删除的数的个数
         */

        int m = nums1.size();
        int n = nums2.size();
        int index1 = 0, index2 = 0;

        while (true) {
            // 边界情况
            if (index1 == m) {
                return nums2[index2 + k - 1];
            }
            if (index2 == n) {
                return nums1[index1 + k - 1];
            }
            if (k == 1) {
                return min(nums1[index1], nums2[index2]);
            }

            // 正常情况
            int newIndex1 = min(index1 + k / 2 - 1, m - 1);
            int newIndex2 = min(index2 + k / 2 - 1, n - 1);
            int pivot1 = nums1[newIndex1];
            int pivot2 = nums2[newIndex2];
            if (pivot1 <= pivot2) {
                k -= newIndex1 - index1 + 1;
                index1 = newIndex1 + 1;
            }
            else {
                k -= newIndex2 - index2 + 1;
                index2 = newIndex2 + 1;
            }
        }
    }

    double findMedianSortedArrays(vector<int>& nums1, vector<int>& nums2) {
        int totalLength = nums1.size() + nums2.size();
        if (totalLength % 2 == 1) {
            return getKthElement(nums1, nums2, (totalLength + 1) / 2);
        }
        else {
            return (getKthElement(nums1, nums2, totalLength / 2) + getKthElement(nums1, nums2, totalLength / 2 + 1)) / 2.0;
        }
    }
};

（3）知识点